Родился 22 мая 1984 года. Свою гоночную карьеру Алексей начал в 16 лет и в первой же гонке занял третье место в классе "Союзный".
После поступления в МГТУ им. Н. Э. Баумана на кафедру «Колесные машины» Алексей продолжил гоночную карьеру. При поддержке зав. кафедры, куратора и спонсора в лице НПЦ СМ («Научно-Производственный Центр Специальное Машиностроение») был основана секция автоспорта. В 2004 году Алексей организовывает сборную команды по картингу в МГТУ им. Н. Э. Баумана, которая существует и по сей день. В этом же году команда стала победителем Трофея Российской Автомобильной Федерации по картингу.
В 2005 году Алексей становится основателем и организатором Чемпионата МГТУ им. Н.Э.Баумана по картингу «Адреналин против наркотиков», который ежегодно собирает 1600 студентов. За сборную МГТУ им. Баумана по картингу Алексей выступал в течение трех лет, после чего в 2008 году по программе "АвтоВАЗ — молодому поколению" вместе с пятью талантливыми молодыми картингистами был приглашен в класс «LADA KALINA».
В Кубке LADA Kalina Sport Алексей выступал год, по итогам которого занял второе место в чемпионате. Параллельно Карачев продолжал выступать в картинге как в России, так и в отдельных чемпионатах за рубежом, в том числе на австрийском этапе Rotax Max Euro Challenge, где показал лучшее время круга, стал победителем международной 24-х часовой гонки по картингу в Турции, серебряным призером Международной 24-часовой гонки по картингу в Ле-Мане, серебряным призером Международной 24-часовой гонки по картингу в ОАЭ.
В 2010 году, дебютировав в формульных гонках, Алексей Карачев досрочно обеспечил "серебро" в международном чемпионате ATS Formula 3 Trophy.
В ноябре 2010 Алексей поставил рекорд трассы в Финляндии на болиде Dallara Формула 3. Параллельно с выступлениями в 2010 году Карачев становится организатором и основателем первого Всероссийского Межвузовского Чемпионата по картингу, в котором принимают участие 15 команд из ведущих вузов России.
В январе 2011 Карачев на болиде Формула Рено 2.0 ставит рекорд трассы Zhuhai International Circuit в Китае. По приглашению китайских спонсоров в том же 2011 году Алексей принимает участие в двух этапах Asian Formula Renault, 2 подиума и первое время в гонке.
В 2012 году Карачев организует первый "Молодежный фестиваль картинга" в Лужниках при поддержке Москомспорта. В этом же году Алексей организует благотворительные соревнования по картингу для детей из детских домов.
7 ноября 2015 года в Лондоне прошла церемония награждения пилотов по итогам сезона серии Blancpain, третьей по зрелищности после "Формулы-1" и DTM. Чемпионом Blancpain Sprint Pro Am 2015 стал Алексей Карачёв, а вице-чемпионом — его партнёр по GT Russian Team Алексей Васильев, тогда как команда взяла титул. Кроме того, в 2015 году состоялось возвращение гонок GT в Москву – один из этапов прошёл на Moscow Raceway.
В 2016 году Алексей дважды поднимался на подиум во время уик-энда F1 на трассе "Сочи Автодром" (гонки поддержки Mitjet 2L Arctic Cup 2016 FORMULA 1 RUSSIAN GRAND PRIX).
Карачев стал абсолютным рекордсменом сезона Mitjet Series Russia 2016, выиграв наибольшее количество гонок в Кубке России — 6. Алексей был включен в официальный список пилотов Международной автофедерации на 2017 год.
С 2013 года Алексей Карачев является шеф-инструктором Академии вождения Mercedes – AMG.
